class Test(QtGui.QWidget):
    def __init__(self, parent=None):
        QtGui.QWidget.__init__(self, parent)
        self.button = QtGui.QPushButton('')
        self.button.setShortcut(QtGui.QKeySequence(QtCore.Qt.Key_E))
        self.button.setMaximumSize(100,100)
        self.key = 'G'
        print 1
        self.connect(self.button, QtCore.SIGNAL('clicked()'), self.test(self.key))
    def test(self,key):
        items[key].amount += 1
        print 2

QObject.connect(QObject, SIGNAL(), QObject, SLOT(), Qt.ConnectionType=Qt.AutoConnection): argument 3 has unexpected type 'NoneType'
QObject.connect(QObject, SIGNAL(), callable, Qt.ConnectionType=Qt.AutoConnection): argument 3 has unexpected type 'NoneType'
QObject.connect(QObject, SIGNAL(), SLOT(), Qt.ConnectionType=Qt.AutoConnection): argument 3 has unexpected type 'NoneType'

self.button.clicked.connect(self.test)

self.connect(self.button, QtCore.SIGNAL('clicked()'), self.test(self.key)) #Тут ты передаешь не слот в кач-ве аргумента, а результат выполнения функции self.test Т.К она не чего не возвращает третьим аргументов передается None, и выскакивает ошибка что вызов функции не совпадает не с одним из перегруженных методов.

class Window(QtGui.QWidget):
    def __init__(self, parent=None):
        QtGui.QWidget.__init__(self, parent)
        self.hbox = QtGui.QHBoxLayout()
        self.bGroup = QtGui.QButtonGroup()
        self.button = QtGui.QPushButton()

        self.bGroup.addButton(self.button,1)

self.connect(self.bGroup, QtCore.SIGNAL('buttonClicked(int)'), self.func)
        self.hbox.addLayout(self.bGroup)
        self.setLayout(self.hbox)
    def func(self.key):
        pass

class Window(QtGui.QWidget):
    def __init__(self, parent=None):
        QtGui.QWidget.__init__(self, parent)
        self.hbox = QtGui.QHBoxLayout()
        self.bGroup = QtGui.QButtonGroup()
        self.button = QtGui.QPushButton()
        self.bGroup.addButton(self.button,1)
       self.bGroup.buttonClicked.connect(self.func)
def func(self, key):
        print key

def func(self.key): #Вместо self.key, self, key

self.hbox.addWidget(self.button)
self.setLayout(self.hbox)

<PyQt4.QtGui.QPushButton object at 0x00000000038541E0>

import functools
self.button.clicked.connect(functools.partial(self.test, "G"))

self.button.clicked.connect(lambda : self.test("G"))