Как изобразить узор на экране с помощью скрипта? Не представляю, куда сунуться. Можно ли это сделать средствами Qt? Где можно прочесть об этом?

С помощью QPainter можно рисовать и в QPixmap и на виджете (в paintEvent).

https://www.google.ru/search?q=qt+painting